Mnoho študentov, ktorí v seniorskom veku študujú vyššiu matematiku, sa pravdepodobne čudovalo: kde sa v praxi uplatňujú diferenciálne rovnice (DE)? Spravidla sa o tejto problematike na prednáškach nehovorí a učitelia okamžite prechádzajú k riešeniu DE bez toho, aby študentom vysvetlili aplikáciu diferenciálnych rovníc v reálnom živote. Pokúsime sa túto medzeru vyplniť.
Začnime definovaním diferenciálnej rovnice. Diferenciálna rovnica je teda rovnica, ktorá spája hodnotu derivácie funkcie s funkciou samotnou, hodnotami nezávislej premennej a niektorými číslami (parametrami).
Najbežnejšou oblasťou, v ktorej sa používajú diferenciálne rovnice, je matematický popis prírodných javov. Používajú sa tiež pri riešení problémov, keď nie je možné ustanoviť priamy vzťah medzi niektorými hodnotami popisujúcimi proces. Takéto problémy vznikajú v biológii, fyzike, ekonómii.
V biológii:
Prvým zmysluplným matematickým modelom popisujúcim biologické spoločenstvá bol model Lotka - Volterra. Opisuje populáciu dvoch interagujúcich druhov. Prvý z nich, nazývaný predátori, pri absencii druhého zomrie podľa zákona x ′ = –ax (a> 0) a druhý - korisť - pri absencii predátorov sa v súlade so zákonom množí neurčito. Malthusa. Interakcia týchto dvoch typov sa modeluje nasledovne. Obete vymierajú rýchlosťou rovnajúcou sa počtu stretnutí predátorov a koristi, o ktorej sa v tomto modeli predpokladá, že je úmerná veľkosti oboch populácií, t. J. Rovná sa dxy (d> 0). Preto y ′ = by - dxy. Predátori sa množia rýchlosťou úmernou počtu zožratej koristi: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sústava rovníc
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = podľa - dxy, (2)
predátor-korisť popisujúca takúto populáciu sa nazýva systém Lotka-Volterra (alebo model).
Vo fyzike:
Newtonov druhý zákon možno napísať vo forme diferenciálnej rovnice
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kde m je hmotnosť telesa, x je jeho súradnica, F (x, t) je sila pôsobiaca na teleso so súradnicou x v čase t. Jeho riešením je dráha telesa pod pôsobením určenej sily.
V ekonómii:
Model prirodzeného rastu produkcie
Budeme predpokladať, že niektoré výrobky sa predávajú za pevnú cenu P. Nech Q (t) označuje množstvo výrobkov predaných v čase t; potom sa v tomto okamihu príjem rovná PQ (t). Časť určeného príjmu nech sa minie na investície do výroby predaných výrobkov, t.j.
I (t) = mPQ (t), (1)
kde m je miera investície - konštantné číslo a 0
